Нагрузка может заключаться как в постоянном отборе воды из горизонта, так и в постоянном нагнетании воды в горизонт. С точки зрения применяемого математического аппарата указанные ситуации отличаются только направленностью процессов, т.е. знаками "–" или "+" . Следовательно, стадии можно определять по характеру изменения уровня: "стадия снижения уровня" и "стадия повышения уровня".

Опыт, в расширенном понимании, может состоять из чередования активных и пассивных стадий, при этом интенсивность физической нагрузки на горизонт для всех активных стадий должна оставаться постоянной (для пассивных стадий интенсивность физической нагрузки равна нулю).

Расчетная стадия – стадия опыта по данным которой рассчитываются значения фильтрационных параметров.

Предыстория опыта – массив данных содержащий информацию о времени начала каждой стадии опыта.

1.3. Условные обозначения

Q	–	расход скважины, м³/сут;
V	–	балансовая составляющая горизонта от действия скважины, м³/сут;
V_i	–	балансовая составляющая горизонта от действия i-й скважины, м³/сут;
km	–	коэффициент водопроводимости, м²/сут;
a	–	коэффициент пьезопроводности, м²/сут;
ξ	–	гидравлическое сопротивление скважины, б/р;
h	–	уровень от поверхности земли, м;
h_с	–	статический уровень от поверхности земли, м;
h_д	–	динамический уровень от поверхности земли, м;
s	–	понижение уровня, м;
p	–	приращение уровня, м;
t	–	время от начала расчетной стадии (t_bn), сут;
t_ai	–	время от начала i-й стадии до начала расчетной стадии, сут;
t_bi	–	время от начала i-й стадии (t_bi = t_ai + t), сут;
t'	–	приведенное время расчетной стадии, сут;
t'_n	–	приведенное время n-й расчетной стадии, сут;
r	–	расстояние от точки наблюдения до точки возмущения, м;
r_i	–	расстояние от точки наблюдения до i-й точки возмущения, м;
r'	–	приведенное расстояние от точки наблюдения до обобщенной точки возмущения, м;
r_с	–	радиус скважины, м.

Балансовая составляющая горизонта (V) величина скалярная:

– если скважина каптирующая, то V < 0;

– если скважина нагнетающая, то V > 0.

Уровни – величины векторные.

Для большей наглядности условные обозначения дополнены иллюстрациями с геометрической интерпретацией некоторых из обозначений (рисунки: 1.1, 1.2 и 1.3).

Рис. 1.1 Векторные величины при V < 0

Рис. 1.2 Векторные величины при V > 0

Рис. 1.3 Времена многостадийного опыта

Векторы h_с, h_д начинаются, соответственно, на статическом уровне и динамическом уровне. Заканчиваются на локальной плоскости сравнения (земная поверхность). Всегда направлены к локальной плоскости сравнения.

Вектор s всегда направлен к статическому уровню, а вектор p – к динамическому уровню.

	(1.1)
	(1.2)
	(1.3)
	(1.4)

В нашем случае все рассмотренные векторы коллинеарные с вектором гравитации, следовательно, они коллинеарные между собой и в географической системе координат характеризуются лишь одной компонентой, которую обозначим z.

1.4. Немного о логарифмах

Операции с логарифмами помнят не всю жизнь. Для тех, кто захочет отследить выкладки, напомню основные свойства логарифмов.

	(1.5)
	(1.6)
	(1.7)
	(1.8)
	(1.9)

где: a, b – константы со значениями большими нуля (условие достаточное, но не для всех зависимостей необходимое).

В математическом анализе нет логарифмов по основанию 10. Полагаю целесообразным перейти к натуральным (природным!) логарифмам.

И еще одна математическая нотация которая встретится далее:

(1.10)

2. Расчет параметров

2.1. Зависимость Тейса

Основным (и единственным) аналитическим решением для двухмерной радиальной фильтрации является зависимость Тейса:

(2.1)

где:

u – параметр интегрирования: u = r²/(4at);

W – интегральная показательная функция.

В соответствии с (1.3) и (1.4) перепишем (2.1), и забудем про дебит (Q) и понижение (s)

(2.2)

Интегральная показательная функция W(u), вычисляется через быстросходящийся знакопеременный ряд:

(2.3)

где: γ – постоянная Эйлера (γ = 0.5772156649…).

Для практических расчетов при вычислении W–функции учитываются только первых два члена ряда (2.3):

(2.4)

где: λ = 4/e^γ ≈ 2.24583793427 (в традиционных расчетах = 2.25)

В этом случае зависимость (2.2) принимает вид:

(2.5)

2.2. Способ прямой линии

Для расчетов параметров используется логарифмическая аппроксимация зависимости Тейса (2.5).

Наиболее распространенным методом расчета коэффициентов водопроводимости и пьезопроводности является метод линейной анаморфозы. Он заключается в приведении зависимости (2.5) к уравнению прямой на плоскости:

(2.6)

где: f(t,r) – логарифмическая функция от аргументов: t, r или t/r².

Аргументы функции f(t,r) изменяется в зависимости от вида прослеживания. Функции f(t,r) принимает вид:

ln(t) – для временного,

ln(r) – для площадного,

ln(t/r²) – для комбинированного прослеживания.

Для определения коэффициентов A и C строится график. Значения функции f(t,r) составляют множество по оси абсцисс, а ось ординат отражает положение уровня воды в скважине. Значения коэффициентов A и C могут определяться по графику "вручную", но лучше их принимать как коэффициенты линейного тренда на участке квазистационарного режима фильтрации. Для построения графика и линейного тренда проще всего использовать функционал программного пакета Excel.

2.3. Метод временного прослеживания

Зависимость (2.5) приводится к виду зависимости (2.6):

(2.7)

откуда следует:

	(2.8)
	(2.9)

Решив зависимость (2.8) относительно km, а зависимость (2.9) относительно a, получаем формулы для расчета параметров:

	(2.10)
	(2.11)

Коэффициенты A и С определялись по графикам временного прослеживания в координатах p ÷ ln(t) для первой стадии и в координатах p ÷ ln(t') для второй стадии. Для построения графика на второй стадии используется приведенное время:

(2.12)

Более подробно о приведенном времени в разделе 3.

2.4. Метод площадного прослеживания

Зависимость (2.5) приводится к виду зависимости (2.6):

(2.13)

откуда следует:

	(2.14)
	(2.15)

Решив зависимость (2.14) относительно km, а зависимость (2.15) относительно a, получаем формулы для расчета параметров:

	(2.16)
	(2.17)

Коэффициенты A и С определялись по графикам площадного прослеживания в координатах p ÷ ln(r). Для расчета по второй стадии в зависимости (2.17) необходимо использовать приведенное время (t').

2.5. Метод комбинированного прослеживания

Зависимость (2.5) приводится к виду зависимости (2.6):

(2.18)

откуда следует:

	(2.19)
	(2.20)

Решив зависимость (2.19) относительно km, а зависимость (2.20) относительно a, получаем формулы для расчета параметров:

	(2.21)
	(2.22)

Коэффициенты A и С определялись по графикам комбинированного прослеживания в координатах p ÷ ln(t/r²) для первой стадии и в координатах p ÷ ln(t'/r²) для второй стадии.

2.6. Гидравлическое сопротивление скважины

Гидравлическое сопротивление скважины определяется по зависимости (2.5) расширенной до учета гидравлического сопротивления скважины:

(2.23)

отсюда:

(2.24)

Время и приращение уровня должны приниматься равными соответствующим величинам в интервале расчетного периода (любая точка на расчетной прямой графика прослеживания). Для второй стадии используется приведенное время.

Гидравлическое сопротивление скважины всегда больше нуля. Если оно, по вашим расчетам, отрицательное, то ищите ошибку во входных параметрах или в схематизации, ибо вы нарушили второй закон термодинамики.

2.7. Рассредоточенная нагрузка

Для последующего изложения материала необходимо рассмотреть ситуацию, когда нагрузка на горизонт не исчерпывается одной скважиной. Если одновременно работает n скважин, каждая из которых создает нагрузку V_i и находится от точки наблюдения на расстоянии r_i, то их совместное влияние можно учесть через приведенное расстояние:

	(2.25)
	(2.26)

Данная зависимость очевидна и, к тому же, приводится во многих источниках.

2.8. Тестирование полученных зависимостей

Особой необходимости в тщательном тестировании материала второго раздела нет. Всю эту информацию можно найти во многих источниках, например, в очень полезном: [Л.Н. Синдаловский, "Справочник аналитических решений…" С.–Петербург, 2006г]. Самым существенным изменением относительно традиционных расчетов является использование натурального логарифма вместо десятичного. Однако, для обнаружения механических ошибок в выкладках было выполнено тестирование полученных зависимостей.

Исходные данные тестовых задач генерировались по зависимостям (2.5) и (2.23).

Моделировалась кустовая откачка из напорного однородного неограниченного в плане изолированного в разрезе водоносного горизонта при входных параметрах:

V = 1000 м³/сут;

km = 100 м²/сут;

a = 100000 м²/сут.

Опытный куст представлен пятью скважинами №№ 1-5.

Центральной является скважина № 1 радиусом 0.1 м с гидравлическим сопротивлением 10.

Скважины №№ 2-5 – наблюдательные, расположенные от центральной на расстоянии соответственно: 1, 3, 7 и 12 метров.

1-я стадия – откачка: V = –1000 м³/сут, продолжительность 3 сут.

2-я стадия – восстановление: V = 1000 м³/сут, продолжительность 2 сут.

Для расчетов использовался функционал программного пакета Excel. Исходные данные, расчеты и результраты можно взять здесь.

Результаты тестовых определений сведены в таблицу 2.1.

Таблица 2.1

Результаты тестовых определений

Значения km получены с точностью до 8 разряда, значения a – до 7 разряда. Ограничение точности результатов теста относительно потенциальной точности Excel (15-16 разрядов) не компрометирует аналитические зависимости. Оно является чисто техническим и связано с тем, что в тестовых расчетах коэффициенты линейного тренда снимались "вручную" с точностью до 8 разряда.

Результаты тестирования однозначно свидетельствуют о корректности полученных зависимостей для расчета коэффициентов водопроводимости и пьезопроводности методом линейной анаморфозы с использованием натуральных логарифмов.

3. Приведенное время

3.1. Приведенное время для второй стадии опыта

В настоящее время для опыта, состоящего из двух стадий, согласно принципа суперпозиции, принята следующая концептуальная модель:

– приложенная к водоносному горизонту на первой стадии нагрузка (V₁) действует в течение всего опыта;

– на второй стадии к водоносному горизонту прикладывается нагрузка, компенсирующая исходную нагрузку (V₂ = –V₁) на протяжении всей второй стадии.

В результате, на второй стадии опыта на горизонт совместно действуют две взаимно компенсирующиеся нагрузки (V₁ + V₂ = 0).

Попробуем уяснить смысл приведенного времени на примере откачки. Схема для расчета приведенного времени отображена на рисунке 3.1

Рис. 3.1 Схема для расчета приведенного времени на второй стадии при V < 0

Статическим уровнем для второй стадии является динамический уровень на конец первой стадии: h_с2 = h_д(t_a₁). Выберем один (любой) замер динамического уровня на второй стадии h_д = h_д(t_b₂). По данным ОФР для данного времени можно вычислить (1.2) приращение динамического уровня относительно статического: p_z = h_с – h_д = h_д(t_a₁) – h_д(t_b₂). Это все, что можно и нужно сделать для вычисления параметров. Осталось сопоставить приращению вычисленному по данным ОФР приращение уровня, вычисленное с помощью зависимости (2.5). Для этого у нас есть три приращения:

	(3.1а)
	(3.1б)
	(3.1в)

На рисунке 3.1 видно, что согласно правилам сложения векторов:

(3.2а)

Используем для (3.2а) z-компоненты векторов из (3.1):

(3.2б)

Для расчетной стадии повышения уровня V > 0:

	(3.2в)
	(3.2г)
	(3.2д)

Из (3.2д) получаем зависимость (2.12):

Приведенное время рассчитано для опыта на первой стадией которого происходило снижение уровня, а на второй – повышение. Для полноты изложение не будет лишним так же рассмотреть инверсную ситуацию: первая стадия – повышение уровня, вторая стадия – снижение 3.2.

Рис. 3.2 Схема для расчета приведенного времени на второй стадии при V > 0

	(3.3а)
	(3.3б)
	(3.3в)

На рисунке 3.2 видно, что согласно правилам сложения векторов:

(3.4а)

Используем для (3.4а) z-компоненты векторов из (3.3):

(3.4б)

Для расчетной стадии повышения уровня V < 0.

	(3.4в)
	(3.4г)
	(3.4д)

Из (3.4д) получаем зависимость (2.12):

В итоге можно сделать вывод, что приведенное время не зависит от знака балансовой составляющей горизонта (V) на расчетной стадии.

3.2. Приведенное время для n-й стадии опыта

Существует много ситуаций, когда "чистота" опыта вызывает обоснованные сомнения. Рассмотрим некоторые из них.

На постоянно действующем водозаборе практически никогда нельзя надежно добиться предварительной стабилизации уровня. Особенно это относится к водозаборам на технологических и животноводческих предприятиях. В таких условиях опыт всегда имеет "предысторию", которая оказывает существенное влияние на его результаты.

При проведении длительных откачек возможен сбой в работе водоподъемного оборудования и если это происходит, то откачка имеет перерывы.

Использование приведенного времени для n-й стадии позволит существенно повысить точность определения параметров во всех этих случаях.

В формуле (2.5) сделаем следующие подстановки:

Это упростит последующие выкладки, а зависимость (2.5) примет вид:

(3.5)

На рисунке 3.3 отображена схема для расчета приведенного времени на третьей стадии опыта.

Рис. 3.3 Схема для расчета приведенного времени на третьей стадии

Имеется пять теоретических приращений уровня:

	(3.6а)
	(3.6б)
	(3.6в)
	(3.6г)
	(3.6д)

Из рисунка 3.3 видно, что практическое замеренное приращение уровня (p_z), согласно правилам сложения векторов, составит:

(3.7а)

Используем для (3.7а) z-компоненты векторов из (3.6):

	(3.7б)
	(3.7в)
	(3.7г)

Из (3.7г) получаем зависимость для расчета приведенного времени на третьей стадии:

(3.8)

Применив аналогичную методику для четвертой стадии опыта получим значение определяемого на практике вектора:

(3.9)

а приведенное время:

(3.10)

Аналогичную методику можно применить для 5 стадии, для 6 и т.д. Перегружать текст однообразными выкладками представляется излишним. По уже представленным данным можно уверенно написать общую зависимость для вычисления приведенного времени на n-й стадии опыта:

(3.11)

Проверим общую зависимость:

3.3. Тестирование полученной зависимости

Зависимость (3.11) была получена мной, в связи с необходимостью более точного определения гидродинамических параметров по результатам опытно-фильтрационных работ на действующих водозаборах^[1]. В литературе ее не встречал, поэтому выполнил значительный объем работ по тестированию.

Исходные данные тестовых задач генерировались по зависимостям (2.5) и (2.23).

V = 1000 м³/сут;

km = 100 м²/сут;

a = 100000 м²/сут.

Опытный куст представлен тремя скважинами № 1, № 2 и № 5.

Центральной является скважина № 1 радиусом 0.1 м с гидравлическим сопротивлением 10.

Скважины № 2 и № 5 – наблюдательные, расположенные от центральной на расстоянии соответственно: 1 и 12 метров.

Рассматривалось 16 стадий продолжительностью 0.5 сут каждая. При этом на первой стадии моделировалось снижение уровня (V = –1000 м³/сут).

Результаты тестовых определений сведены в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

Результаты тестовых определений для 16-ти стадий

Выполнен еще один тест для скважин № 2 и № 5 с разной продолжительностью стадий. Рассмотрена 60 часовая откачка с 12 часовым перерывом и последующим 24 часовым восстановлением:

1 стадия – снижение уровня (1 сутки);

2 стадия – повышение уровня (0.5 суток);

3 стадия – снижение уровня (1 сутки);

4 стадия – повышение уровня (1 суток).

Результаты тестовых определений приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Результаты тестовых определений для разных по продолжительности стадий

Значения km получены с точностью до 8 разряда, значения a – до 7 разряда, значения ξ – до 15 разряда. Ограничение по точности чисто техническое. Оно анализировалось в предыдущем разделе (посмотреть).

Результаты тестирования однозначно свидетельствуют о корректности полученной зависимости (3.11) для расчета приведенного времени на любой стадии опыта.

Особый интерес представляет анализ точности определения фильтрационных параметров в зависимости от полноты учета предыстории опыта. Приводить здесь весь тестовый материал не представляется целесообразным, так как исходники тестов прилагаются. Однако некоторая сведенная в графики информация является весьма показательной.

Рис. 3.4 Изменение значений параметров в зависимости от полноты учета предыстории для 16-й расчетной стадии

Рис. 3.5 Изменение значений параметров в зависимости от полноты учета предыстории для 15-й расчетной стадии

Не лишним будет привести некоторые уточнения к рисункам:

– коэффициент водопроводимости по временному прослеживанию (вр_2_5) имеет одинаковые значения для скважин № 2 и № 5;

– для временного прослеживания учет в расчетах пяти (рис. 3.4), шести (рис. 3.5) предшествующих стадий позволяет вычислить параметры с относительной ошибкой менее 5% (точность коэффициента пьезопроводности определяется через его логарифм);

– коэффициент водопроводимости по площадному прослеживанию (площ) не зависит от полноты учтенной в расчетах предыстории и всегда равен заложенному в тестовую модель значению.

– для площадного и комбинированного прослеживания учет в расчетах предыстории не обязателен;

– увеличение в расчете количества предшествующих стадий повышает точность определения фильтрационных парамеров.

Условием ограничения длительности предыстории можно принять методическое требование: "Применение приведенного времени в расчетах на стадии восстановления необходимо в случае, когда длительность восстановления превышает 1/10 длительности откачки". Следовательно, длительность предыстории должна быть в 10 раз больше длительности расчетной стадии. При этом, под длительностью расчетной стадии следует понимать время от начала стадии до последнего замера используемого при построении тренда. Уточню на примере: длительность расчетной стадии составляет 3 суток, а участок спрямления (расчетный) находится в интервале от 3 до 7 часов. Следовательно, длительность предыстории должна составлять не менее 7 х 10 = 70 часов ≈ 2.92 суток.

Примечание:

¹ Следует отметить, что подобные задачи уже имеют другие решения, которые можно найти в том же справочнике [Л.Н. Синдаловский, "Справочник аналитических решений…" С.–Петербург, 2006г]. Однако в процессе тестирования приведенных там зависимостей возникли некоторые вопросы, ответов на которые я не нашел.

3.4. Расчет приведенного времени для n-й стадии опыта

Для расчетов по зависимости (3.11) можно использовать следующий алгоритм:

        var
          tz: array of double; // время замеров от начала расчетной стадии
          tp: array of double; // время приведенное
          ts: array of double; // продолжительность предшествующих стадий
                               // (от их начал до начала расчетной стадии – tai)
          nz: integer; // количество замеров
          ns: integer; // количество !!!_предшествующих_!!! стадий
          i, j, k, k0: integer;
        begin
          // готовим массивы
          // ....................
          // приступаем к расчету
          tp[0] := 0; // приведенное время для стартового замера всегда 0
          if (ns mod 2) > 0 then k0 := 1 else k0 : -1;
          for i := 1 to nz - 1 do begin
            k := k0;
            d := tz[i];
            for j := 0 to ns - 1 do begin
              k := k * (-1);
              if k < 0
                then d := d * ts[j] / (ts[j] + tz[i])
                else d := d / ts[j] * (ts[j] + tz[i]);
            end;
            tp[i] := d
          end;
          // визуализируем результат
          // ................ !!! не берите логарифм от tp[0]
        end;

Для большого количества предыдущих стадий алгоритм можно оптимизировать, вычислив произведение постоянных для стадии множителей (t_ai) перед циклом по замерам.

Готовую программу для расчета приведенного времени можно взять здесь.

Содержание

1. Предваряющая информация

1.1. Схематизация

1.2. Определения

1.3. Условные обозначения

1.4. Немного о логарифмах

2. Расчет параметров

2.1. Зависимость Тейса

2.2. Способ прямой линии

2.3. Метод временного прослеживания

2.4. Метод площадного прослеживания

2.5. Метод комбинированного прослеживания

2.6. Гидравлическое сопротивление скважины

2.7. Рассредоточенная нагрузка

2.8. Тестирование полученных зависимостей

3. Приведенное время

3.1. Приведенное время для второй стадии опыта

3.2. Приведенное время для n-й стадии опыта

3.3. Тестирование полученной зависимости

3.4. Расчет приведенного времени для n-й стадии опыта

Пререйти к комментариям